pdf文档 2016年全国高中数学试题联合竞赛加试(A卷)PDF版

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2016 年全国高中数学联合竞赛加试(A 卷) 参考答案及评分标准 说明: 1. 评阅试卷时,请严格按照本评分标准的评分档次给分. 2. 如果考生的解答方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可 参考本评分标准适当划分档次评分, 10 分为一个档次,不要增加其他中间档次. 1, 2, , 2015) . 一、 (本题满分 40 分)设实数 a1 , a2 , , a2016 满足 9ai > 11ai2+1 (i = 2 ) ⋅ ( a2016 − a12 ) 的最大值. 求 ( a1 − a22 ) ⋅ ( a2 − a32 ) ⋅  ⋅ ( a2015 − a2016 2 ) ⋅ ( a2016 − a12 ) . 解 令 P = ( a1 − a22 ) ⋅ ( a2 − a32 ) ⋅  ⋅ ( a2015 − a2016  由已知得,对 i = 1, 2, , 2015 ,均有 ai − ai2+1 >  11 2 ai +1 − ai2+1 ≥ 0 . 9  若 a2016 − a12 ≤ 0 ,则 S ≤ 0 .  …………………10 分  以下考虑 a2016 − a12 > 0 的情况.约定 a2017 = a1 .由平均不等式得 1  P 2016 ≤  =  2016 1 2016 1  2016  2 ( a − = a ) a − ai2+1  ∑ ∑ ∑ i i +1 i  2016 2016 =i 1 =  i 1 =i 1  2016 1  2016 1 2016 2 − = a a  ∑ i ∑ i  2016 ∑ ai (1 − ai ) 2016 =  i 1 =i 1  =i 1  …………………20 分  1 2016  ai + (1 − ai )  1 1 1 , ≤ ⋅ 2016 ⋅ = ∑  = 2016 i =1  2 2016 4 4  2  所以  P≤  1 4  2016  .  …………………30 分  1 时 , 上 述 不 等 式 等 号 成 立 , 且 有 9ai > 11ai2+1 2 1 (i = 1, 2, , 2015) ,此时 P = 2016 . 4 1 综上所述,所求最大值为 2016 . …………………40 分 4 a=  = a2016= 当 a= 1 2  二、 (本题满分 40 分)如图所示,在△ ABC 中, X , Y 是直线 BC 上两点( X , B, C , Y 顺次排列) ,使得 BX  AC  CY  AB . 设△ ACX ,△ ABY 的外心分别为 O1 , O2 ,直线 O1O2 与 AB, AC 分别交于点 U ,V . 证明:△ AUV 是等腰三角形.  A  O1  U  O2 V  X  B  C  Y  证法一 作 ∠BAC 的内角平分线交 BC 于点 P . 设三角形 ACX 和 ABY 的外 BP AB BX AB 接圆分别为 ω1 和 ω2 . 由内角平分线的性质知, = . 由条件可得 . = CP AC CY AC 从而 PX BX + BP AB BP , = = = PY CY + CP AC CP 即 CP ⋅ PX = BP ⋅ PY . …………………20 分 故 P 对圆 ω1 和 ω2 的幂相等,所以 P 在 ω1 和 ω2 的根轴上. ……………30 分 于是 AP ⊥ O1O2 ,这表明点 U , V 关于直线 AP 对称,从而三角形 AUV 是等腰 三角形. …………………40 分 A  O1 U  O2 V  X  B  Y  C  P  证法二 设△ ABC 的外心为 O ,连接 OO1 , OO2 .过点 O , O1 , O2 分别作直线 BC 的垂线,垂足分别为 D, D1 , D2 .作 O1K  OD 于点 K . 我们证明 OO1  OO2 .在直角三角形 OKO1 中, OO1   O1K . sin O1OK  由外心的性质, OO1  AC .又 OD  BC ,故 O1OK  ACB . 1 2  1 2  1 2  而 D, D1 分别是 BC , CX 的中点,所以 DD1  CD1  CD  CX  BC  BX . 因此 1 BX O1K DD1 BX ,  2  R OO1  AB AB sin O1OK sin ACB 2R CY 这里 R 是△ ABC 的外接圆半径.同理 OO2  R  . …………………10 分 AC BX CY  ,故 OO1  OO2 . …………………20 分 由已知条件可得 AB AC A  O1  U  O K  O2 V  X  B  D1  D  D2  C  Y  由于 OO1  AC ,所以 AVU  90OO1O2 .同理 AUV  90OO2O1 . …………………30 分 又因为 OO1  OO2 ,故 OO1O2  OO2O1 ,从而 AUV  AVU .这样 AU  AV , 即△ AUV 是等腰三角形. …………………40 分  三、 (本题满分 50 分) 给定空间中 10 个点, 其中任意四点不在一个平面 上.将某些点之间用线段相连,若得到的图形中没有三角形也没有空间四边形, 试确定所连线段数目的最大值. 解 以这 10 个点为顶点, 所连线段为边, 得到一个 10 阶简单图 G . 我们证 明 G 的边数不超过 15. 设 G 的 顶 点 为 v1 , v2 , , v10 , 共 有 k 条 边 , 用 deg(vi ) 表 示 顶 点 vi 的 度 . 若 deg(vi ) ≤ 3 对 i = 1, 2, ,10 都成立,则  1 10 1 ×10 × 3 15 . deg(vi ) ≤ = ∑ 2 i =1 2 假设存在 vi 满足 deg(vi ) ≥ 4 .不妨设 deg(v1 )= n ≥ 4 , 且 v1 与 v2 , , vn +1 均相 邻.于是 v2 , , vn +1 之间没有边,否则就形成三角形.所以, v1 , v2 , , vn +1 之间恰有 …………10 分 n 条边. 对每个 j ( n + 2 ≤ j ≤ 10 ),v j 至多与 v2 , v3 , , vn +1 中的一个顶点相邻(否则设 v j 与 vs , vt ( 2 ≤ s < t ≤ n + 1) 相邻,则 v1 , vs , v j , vt 就对应了一个空间四边形的四个顶 点 , 这 与 题 设 条 件 矛 盾 .), 从 而 v2 , , vn +1 与 vn + 2 , , v10 之 间 的 边 数 至 多 …………20 分 10 − (n + 1) =9 − n 条. = k  在 vn + 2 , , vn 这 9 − n 个顶点之间,由于没有三角形,由托兰定理,至多  (9 − n) 2    条边.因此 G 的边数  4   (9 − n) 2   (9 − n) 2   25  k ≤ n + (9 − n) +   =9+  ≤ 9 +   = 15 .……30 分 4  4   4   如图给出的图共有 15 条边,且满足要求. 综上所述,所求边数的最大值为 15.  …………………50 分  四、 (本题满分 50 分)设 p 与 p + 2 均是素数, p > 3 .数列 {an } 定义为 a1 = 2 ,  pa  an an −1 +  n −1  , n = 2,3, .这里  x  表示不小于实数 x 的最小整数. =  n  证明:对 = n 3, 4, , p − 1 均有 n pan −1 + 1 成立. 证明 首先注意, {an } 是整数数列. 对 n 用数学归纳法.当 n = 3 时,由条件知 a2= 2 + p ,故 pa2 + 1=  ( p + 1)  2  .因  p 与 p + 2 均是素数,且 p > 3 ,故必须 3 p + 1 .因此 3 pa2 + 1 ,即 n = 3 时结论成 立.   pa  pa + 1 对 3 < n ≤ p − 1 ,设对 , = k 3, , n − 1 成立 k pak −1 + 1 ,此时  k −1  = k −1 k  k  故  pa + 1    pa    + 1 p  ak − 2 + k − 2 pak −= p  ak − 2 +  k − 2  = 1 +1  +1  k −1   k −1    =  ( pak −2 + 1)( p + k − 1) . k −1  …………………10 分  故对 3 < n ≤ p − 1 ,有  p + n −1 p + n −1 p + n − 2 ⋅ ( pan −= ( pan −3 + 1) 2 + 1) n −1 n −1 n−2 p + n −1 p + n − 2 p+3 ………20 分 = = ⋅ ⋅ ⋅ ( pa2 + 1) , n −1 n−2 3  pa= n −1 + 1  因此  2n ( p + 1) C pn+ n . ( p + n )( p + 2 )  pan −1 + 1 =  由此知(注意 C pn+ n 是整数)  ① n ( p + n )( p + 2 )( pan −1 + 1) . …………………40 分  因 n < p , p 素数,故 ( n, n + p= ) ( n, p=) 1 ,又 p + 2 是大于 n 的素数,故 1 ,从而 n 与 ( p + n )( p + 2 ) 互素,故由①知 n pan −1 + 1 .由数学归纳 ( n, p + 2 ) = 法知,本题得证. …………………50 分  
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kuaiwen文库的中文名是什么?( 答案:快问 )
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