2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明-数学试题科 - 在线阅读版

2015年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)说明

数学科

一、命题指导思想

普通高等学校招生全国统一考试是由合格的高中毕业生和具有同等学力的考生参加的选拔性考试。高等学校根据考生考试成绩,按已确定的招生计划,德、智、体全面衡量,择优录用。因此,高考试卷应具有较高的信度、效度以及必要的区分度和适当的难度。

根据普通高等学校对新生文化素质的要求,2015年普通高等学校招生全国统一考试数学学科(江苏卷)命题将依据中华人民共和国教育部颁发的《普通高中数学课程标准(实验)》,参照《普通高等学校招生全国统一考试大纲(课程标准实验版)》,结合江苏普通高中课程教学要求,既考查中学数学的基础知识和方法,又考查进入高等学校继续学习所必须的基本能力.

1.突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查  

对数学基础知识和基本技能的考查,贴近教学实际,既注意全面,又突出重点,注重知识内在联系的考查,注重对中学数学中所蕴涵的数学思想方法的考查.  

2.重视数学基本能力和综合能力的考查  

数学基本能力主要包括空间想象、抽象概括、推理论证、运算求解、数据处理这几方面的能力.  

1空间想象能力的考查要求是:能够根据题设条件想象并作出正确的平面直观图形,能够根据平面直观图形想象出空间图形;能够正确地分析出图形中基本元素及其相互关系,并能够对空间图形进行分解和组合.  

2抽象概括能力的考查要求是:能够通过对实例的探究,发现研究对象的本质;能够从给定的信息材料中概括出一些结论,并用于解决问题或作出新的判断.  

3推理论证能力的考查要求是:能够根据已知的事实和已经获得的正确的数学命题,

运用归纳、类比和演绎进行推理,论证某一数学命题的真假性.  

4运算求解能力的考查要求是:能够根据法则、公式进行运算及变形;能够根据问题的条件寻找与设计合理、简捷的运算途径;能够根据要求对数据进行估计或近似计算.  

5数据处理能力的考查要求是:能够运用基本的统计方法对数据进行、分析,以解决给定的实际问题.  

数学综合能力的考查,主要体现为分析问题与解决问题能力的考查,要求能够综合地运用有关的知识与方法,解决较为困难的或综合性的问题.  

3.注重数学的应用意识和创新意识的考查  

数学的应用意识的考查,要求能够运用所学的数学知识、思想和方法,构造数学模型,将一些简单的实际问题转化为数学问题,并加以解决.  

创新意识的考查要求是:能够综合,灵活运用所学的数学知识和思想方法,创造性地解决问题.  

二、考试内容及要求

数学试卷由必做题与附加题两部分组成.选修测试历史的考生仅需对试题中的必做题

部分作答;选修测试物理的考生需对试题中必做题和附加题这两部分作答.必做题部分考

查的内容是高中必修内容和选修系列1的内容;附加题部分考查的内容是选修系列2中的内容以及选修系列4中专题4-1《几何证明选讲》、4-2《矩阵与变换》、4-4《坐标系与参数方程》、4-5《不等式选讲》这4个专题的内容(考生只需选考其中两个专题).

对知识的考查要求依次分为了解、理解、掌握三个层次(在下表中分别用ABC表示).

了解:要求对所列知识的含义有最基本的认识,并能解决相关的简单问题.

理解:要求对所列知识有较深刻的认识,并能解决有一定综合性的问题.

掌握:要求系统地掌握知识的内在联系,并能解决综合性较强的或较为困难的问题.


具体考查要求如下:

1.必做题部分  

内 容

要 求

A  

B  

C  

1.集合

集合及其表示  

  

   

   

子集  

   

  

   

交集、并集、补集

   

  

   

2.函数概念

与基本初

等函数Ⅰ  

函数的概念

   

  

   

函数的基本性质

   

  

   

指数与对数  

   

  

   

指数函数的图象与性质  

   

  

   

对数函数的图象与性质  

   

  

   

幂函数  

  

   

   

函数与方程  

  

  

   

函数模型及其应用  

   

  

   

3.基本初等

函数Ⅱ(三

角函数)、

三角恒等

变换

三角函数的概念 

   

  

   

同角三角函数的基本关系式 

   

  

   

三角函数的的诱导公式

   

  

   

正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质  

   

  

   

函数 的图象与性质                               

  

   

   

两角和(差)的正弦、余弦及正切

   

   

  

二倍角的正弦、余弦及正切  

   

  

   

4.解三角形

正弦定理、余弦定理及其应用

   

  

   

5.平面向量

平面向量的概念

   

  

   

平面向量的加法、减法及数乘运算

   

  

   

平面向量的坐标表示

   

  

   

平面向量的数量积

   

   

  

平面向量的平行与垂直

   

  

   

平面向量的应用

  

   

   






6.数列

数列的概念

  

   

   

等差数列

   

   

  

等比数列

   

   

  

7.不等式

基本不等式

   

   

  

一元二次不等式

   

   

  

线性规划

  

   

   

8.复数

复数的概念  

   

  

   

复数的四则运算  

   

  

   

复数的几何意义  

  

   

   

9.导数及其应用  

导数的概念  

  

   

   

导数的几何意义  

   

  

   

导数的运算  

   

  

   

利用导数研究函数的单调性与极值

   

  

   

导数在实际问题中的应用  

   

  

   

10.算法初步

算法的含义  

  

   

   

流程图  

  

   

   

基本算法语句  

  

   

   

11.常用逻辑用语  

命题的四种形式 

  

   

   

充分条件、必要条件、充分必要条件

   

  

   

简单的逻辑联结词  

  

   

   

全称量词与存在量词  

  

   

   

12.推理与证明  

合情推理与演绎推理  

   

  

   

分析法与综合法  

  

   

   

反证法  

  

   

   

13.概率、统计  

抽样方法  

  

   

   

总体分布的估计  

  

   

   

总体特征数的估计  

   

  

   

随机事件与概率  

  

   

   

古典概型  

   

  

   

几何概型  

  

   

   

互斥事件及其发生的概率  

 

   

14空间几何体  

柱、锥、台、球及其简单组合体  

  

   

   

柱、锥、台、球的表面积与体积  

  

   

   

15.点、线、面

之间的位置关系  

平面及其基本性质

  

   

   

直线与平面平行、垂直的判定及性质

   

  

   

两平面平行、垂直的判定及性质  

   

  

   

16.平面解析

几何初步  

直线的斜率和倾斜角  

   

  

   

直线方程  

   

   

  

直线的平行关系与垂直关系  

   

  

   

两条直线的交点  

   

  

   

两点间的距离、点到直线的距离  

   

  

   

圆的标准方程与一般方程  

   

   

  

直线与圆、圆与圆的位置关系  

   

  

   

17.圆锥曲线

与方程  

中心在坐标原点的椭圆的标准方程与几何性质  

   

  

   

中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质 

  

   

   

顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质 

  

   

   

  


2.附加题部分  

内 容

要 求

A  

B  

C  

   选修系列 :不含选修系列 中的内容

1.圆锥曲线

与方程  

曲线与方程  

  

   

   

顶点在坐标原点的抛物线的标准方程与几何性质

   

  

   

2.空间向量

与立体几何  

空间向量的概念  

  

   

   

空间向量共线、共面的充分必要条件  

   

  

   

空间向量的加法、减法及数乘运算  

   

  

   

空间向量的坐标表示  

   

  

   

空间向量的数量积  

   

  

   

空间向量的共线与垂直  

   

  

   

直线的方向向量与平面的法向量  

   

  

   

空间向量的应用  

   

  

   

3.导数及其应用  

简单的复合函数的导数



4.推理与证明  

数学归纳法的原理  

  

   

   

数学归纳法的简单应用  

   

  

   

5.计数原理

加法原理与乘法原理

   

  

   

排列与组合  

   

  

   

二项式定理  

   

  

   

6.概率统计  

离散型随机变量及其分布列  

  

   

   

超几何分布  

  

   

   

条件概率及相互独立事件

  

   

   

次独立重复试验的模型及二项分布  

   

  

   

离散型随机变量的均值与方差









选修系列 个专题

7.几何证明

选讲  

相似三角形的判定与性质定理  

   

  

   

射影定理  

  



圆的切线的判定与性质定理  

   

  

   

圆周角定理,弦切角定理  

   

  

   

相交弦定理、割线定理、切割线定理  

   

  

   

圆内接四边形的判定与性质定理  

   

  

   

8.矩阵与变换  

矩阵的概念  

  


   

二阶矩阵与平面向量  

   

  


常见的平面变换  

  

  

   

矩阵的复合与矩阵的乘法  

   

  

   

二阶逆矩阵  

   

  

   

二阶矩阵的特征值与特征向量  

   

  

   

二阶矩阵的简单应用  

   

  

   

9.坐标系与

参数方程  

坐标系的有关概念  

  


   

简单图形的极坐标方程  

   

  


极坐标方程与直角坐标方程的互化  

   

  

   

参数方程  

   

  

   

直线、圆及椭圆的参数方程  

   

  

   

参数方程与普通方程的互化  

   

  

   

参数方程的简单应用  

   

  

   

10.不等式选讲  

不等式的基本性质  

   

  

   

含有绝对值的不等式的求解  

   

  


不等式的证明(比较法、综合法、分析法)



算术-几何平均不等式与柯西不等式



利用不等式求最大(小)值



运用数学归纳法证明不等式



三、考试形式及试卷结构

(一)考试形式  

闭卷、笔试,试题分必做题和附加题两部分.必做题部分满分为160分,考试时间120分钟;附加题部分满分为40分,考试时间30分钟.  

(二)考试题型  

1.必做题 必做题部分由填空题和解答题两种题型组成.其中填空题14小题,约占70分;解答题6小题,约占90.  

2.附加题 附加题部分由解答题组成,共6.其中,必做题2题,主要考查选修系列2中的内容;选做题共4题,依次考查选修系列44-14-24-44-54个专题的内容,考生只须从中选2题作答.  

填空题着重考查基础知识、基本技能和基本方法,只要求直接写出结果,不必写出计算或推理过程;解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.  

(三)试题难易比例  

必做题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大

致为442.  

附加题部分由容易题、中等题和难题组成.容易题、中等题和难题在试卷中的比例大

致为541.

四、典型题示例

A.必做题部分

1. 设复数 满足 i为虚数单位),则 的虚部是___.

解析】本题主要考查复数的基本概念和运算.本题属容易题.

答案

2. 设集合 ,则实数 的值为_

解析】本题主要考查集合的概念、交集的运算等基础知识.本题属容易题.

答案1.

3. 右图是一个算法流程图,则输出的k的值是

解析】本题主要考查算法流程图的基础知识,

本题属容易题.

答案5





4. 函数 的定义域为 

解析】本题主要考查对数函数的定义域等基础知识,本题属容易题.

答案

5.某棉纺厂为了解一批棉花的质量,从中

随机抽取了 根棉花纤维的长度(棉花纤

维的长度是棉花质量的重要指标),所得数

据均在区间 中,其频率分布直方图

如图所示,则在抽测的 根中,有_ _

棉花纤维的长度小于 .

解析】本题主要考查统计中的抽样方法与总体分布的估计.本题属容易题.

答案30.

6. 盒子里共有大小相同的3只白球,1只黑球,若从中随机摸出两只球,则它们颜色不同的概率是_____________

解析】本题主要考查古典概型等基础知识.本题属容易题.

答案 .

7.已知函数 ,它们的图象有一个横坐标为 的交点, 的值是___________

解析】本题主要考查特殊角的三角函数值,正弦函数、余弦函数的图象与性质等基础知识.考查数形结合的思想,考查分析问题、解决问题的能力.本题属容易题.

答案

8.在各项均为正数的等比数列, , 的值是__________.

解析】本题主要考查等比数列的通项公式等基础知识,考查运算求解能力.本题属容易题.

答案4

9. 如图,在长方体

,则四棱锥 的体积为 cm3

解析】本题主要考查四棱锥的体积,考查空间想象能力

和运算能力.本题属中等题.

答案6.

10.设直线 是曲线 的一条切线,则实数 的值是 .

解析】本题主要考查导数的几何意义等基础知识,考查运算求解能力,本题属中等题.

答案 .

11在平面直角坐标系 中,圆 的方程为 ,若直线 上至少存

在一点,使得以该点为圆心,1为半径的圆与圆 有公共点,则 的最大值是

解析】本题主要考查圆的方程、圆与圆的位置关系、点到直线的距离等基础知识,考查灵活运用相关知识解决问题的能力.本题属中等题

答案

12.如图,在平行四边形 中,已知 ,则 的值是 .

解析】本题主要考查平面向量的共线、平面向量基本定理、向量的运算、向量的数量积等基础知识.考查数形结合和等价转化思想,考查运算求解能力.本题属中等题.

答案 .

1 3. 为实常数, 是定义在R上的奇函数,当 时, ,若 对一切 成立,则 的取值范围为________

解析】本题主要考查函数的奇偶性,简单不等式的解法等基础知识,考查数形结合和分类讨论思想, 查灵活运用有关知识解决问题的能力. 本题属难题.

答案 .

14. 已知正数 满足: 的取值范围是

解析】本题主要考查函数的奇偶性、简单不等式的解法等基础知识,考查数形结合和分类讨论思想,考查灵活运用有关知识解决问题的能力.本题属难题.

答案

二、解答题

15 中,角ABC的对边分别为 ,已知 .1)求 值;

(2) 的值.

解析】本题主要考查三角恒等变换、正弦定理等基础知识,考查运算求解能力.

本题属容易题.

参考答案

1 中,因为

故由正弦定理得 ,所以

2)由(1)知 ,所以

又因为

所以 ,从而

中,因为

所以

所以由正弦定理得

1 6如图,在直三棱柱 中, 分别是棱 上的点(点 不同于点 ),且 的中点.

求证:(1)平面 平面

2)直线 平面

解析本题主要考查直线与平面、平面与平面的

位置关系,考查空间想象能力和推理论证能力.

本题属容易题

参考答案

证明:(1)∵ 是直三棱柱,∴ 平面

又∵ 平面 .

又∵ 平面

平面 ,又∵ 平面

平面 平面 .

2)∵ 的中点, .

又∵ 平面 ,且 平面 .

又∵ 平面 平面 .

由(1)知, 平面 .

又∵ 平面 平面直线 平面 .

17. 如图,在平面直角坐标系 中,过坐标原点的直线交椭圆

两点,其中点 在第一象限,过 轴的垂线,垂足

,连结 ,并延长交椭圆于点 ,设直线 的斜率为 .

1)当 时,求点 到直线 的距离;

2)对任意 ,求证: .


【解析】本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程、

直线的垂直关系、点到直线的距离等基础知识,考查运

算求解能力、推理论证能力.本题属中等题

【参考答案】

(1)直线 的方程为 ,代入椭圆方程得 ,解得

因此 ,于是 ,直线 的斜率为 ,

故直线 的方程为 .

因此,点 到直线 的距离为 .

(2)解法一:将直线 的方程 代人 ,解得

, ,于是 ,从而直线 的斜率为

,其方程为 .

代入椭圆方程得 ,解得

.因此 ,于是直线 的斜率

,因此

所以

解法二:设 ,

设直线PBAB的斜率分别为

因为C在直线AB上,所以

从而

因此 所以

18. ,为了保护河上古桥 ,规划建一座新桥BC,同时设立一个圆形保护区.规划要求:新桥BC与河岸AB垂直;保护区的边界为圆心M在线段OA上并与BC相切的圆.且古桥两端OA到该圆上任意一点的距离均不少于80m. 经测量,点A位于点O正北方向60m, C位于点O正东方向170m(OC为河岸), .

(1)求新桥BC的长;

(2)OM多长时,圆形保护区的面积最大?






【解析】本题主要考查直线、圆、解三角形等基础知识,考查抽象概括能力和运算求解能力,考查考生的数学应用意识.本题属中等题.

参考答案

解法一:

  1. 如图,以O为坐标原点,OC所在直线为x轴,建立平面直角坐标系xOy.

由条件知A(0, 60)C(170, 0)

线BC的斜率k BC=tanBCO= .

又因为ABBC,所以直线AB的斜率k AB= .

设点B的坐标为(a,b),则k BC=

k AB=

解得a=80b=120. 所以BC= .

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆M的半径为r m,OM=d m,(0d60).

由条件知,直线BC的方程为 ,即

由于圆M与直线BC相切,故点M(0d)到直线BC的距离是r

.

因为OA到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

解得

故当d=10, 最大,即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.

解法二:(1)如图,延长OA, CB交于点F.

因为tanBCO= .所以sinFCO= cosFCO= .

因为OA=60,OC=170,所以OF=OC tanFCO= .

CF= ,从而 .

因为OAOC,所以cosAFB=sinFCO==

又因为ABBC,所以BF=AF cosAFB== ,从而BC=CFBF=150.

因此新桥BC的长是150 m.

(2)设保护区的边界圆MBC的切点为D,连接MD,则MDBC,且MD是圆M的半

径,并设MD=r mOM=d m(0d60).

因为OAOC,所以sinCFO =cosFCO

故由(1)知,sinCFO = 所以 .

因为OA到圆M上任意一点的距离均不少于80 m,

所以 解得

故当d=10, 最大,即圆面积最大.

所以当OM = 10 m时,圆形保护区的面积最大.

19. 已知 是实数,函数

的导函数,若 在区间I上恒成立,则称 在区间

I上单调性一致

1)设 ,若函数 在区间 上单调性一致,求实数 的取值范围;

2)设 ,若函数 在以 为端点的开区间上单调性一致,求 的最大值

【解析】本题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识,考查灵活运用数

形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力.本题属难题.

【参考答案】

(1)由题意知 上恒成立,因为 ,故

进而 ,即 在区间 上恒成立,所以

因此 的取值范围是 .

(2) ,解得 , ,

又因为 ,所以函数 上不是单调性一致的.

因此 现设

, ;当 ,

因此,当 ,

故由题设得 ,从而 ,于是 .

因此 且当 时等号成立,

又当 ,

从而当 , ,故函数

上单调性一致.

因此 的最大值为 .

20. M为部分正整数组成的集合,数列 的首项 ,前n项和为 ,已知对任意整数k属于M,当n>k时, 都成立.

1)设M=1}, ,求 的值;(2)设M=34},求数列 的通项公式.

【解析】本题主要考查等差数列的通项公式及前n项的和等基础知识,考查学生的探索与推理能力.本题属难题.

【参考答案】

1 即:

所以,n>1时, 成等差,而

2)由题意:

时,由(1)(2)得:

由(3)(4)得:

由(1)(3)得:

由(2)(4)得:

由(7)(8)知: 成等差, 成等差;设公差分别为:

由(5)(6)得:

由(9)(10)得: 成等差,设公差为d,

在(1)(2)中分别取n=4,n=5得:









B.附加题部分

1.选修 几何证明选讲

如图, 是圆 的直径, 为圆 上一点,过 作圆 的切线

的延长线于点 , ,求证:

【解析】本题主要考查三角形与圆的一些基础知识,如三角形的外接圆、圆的切线性质等,考查推理论证能力.本题属容易题.

【参考答案】连 ,因为 是圆 的直径,

所以

因为 是圆 的切线,

所以 ,又因为

所以 于是 从而

2.选修 矩阵与变换

已知矩阵 ,求矩阵

【解析】本题主要考查矩阵、矩阵乘法,考查运算求解能力.本题属容易题.

【参考答案】设矩阵A的逆矩阵为 , =

=

a=-1b=0c=0d= 从而矩阵A的逆矩阵为 ,

所以 = =

3.选修 坐标系与参数方程

在极坐标中,已知圆 经过点 ,圆心为直线 与极轴的交点,求圆 的极坐标方程.

【解析】本题主要考查直线和圆的极坐标方程等基础知识,考查转化问题的能力。本题属容易题.

参考答案】

圆心为直线 与极轴的交点,

中令 ,得

的圆心坐标为(10)。

经过点 ,∴圆 的半径为

经过极点。∴ 的极坐标方程为

4.选修 不等式选讲

已知 是非负实数,求证:

【解析】本题主要考查证明不等式的基本方法. 考查推理论证能力,本题属容易题.

【参考答案】

是非负实数,作差得

时, 从而

时, ,从而

所以

5. 如图,在正四棱柱 中, ,点 的中点,

上,设二面角 的大小为 .

1)当 时,求 的长;

2)当 时,求 的长。

【解析】本题主要考查空间向量的基础知识,考查运用空间

向量解决问题的能力.本题属中等题.

【参考答案】

建立如图所示的空间直角坐标系

,则各点的坐标为

所以 .设平面 的法向量为

,则 ,

,令 ,

所以 是平面 的一个法向量.

设平面 的法向量为 ,

, ,

的一个法向量,从而

(1)因为 ,所以

解得 ,从而

所以

(2)因为

所以

因为 ,所以 ,解得 .

根据图形和(1)的结论可知 ,从而 的长为 .

6. 已知函数 ,设 的导数,

1)求 的值;

2)证明:对任意的 ,等式 成立.

【解析】本题主要考查简单的复合函数的导数、导数的运算法则及数学归纳法等基础知识,考查探究能力及推理论证.本题属难题,

【参考答案】

(1)由已知,得

于是

所以

(2)证明:由已知,得 等式两边分别对x求导,得

,类似可得

.

下面用数学归纳法证明等式 对所有的 都成立.

(i)n=1时,由上可知等式成立.

(ii)假设当n=k时等式成立, .

因为

所以 .

所以当n=k+1,等式也成立.

综合(i),(ii)可知等式 对所有的 都成立.

,可得 ( ).

所以 ( ).


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