2019-2020年浙江省温州十五校联合体高一上学期期中联考试题数学试题 - 在线阅读

2019-2020学年浙江省温州十五校联合体高一上学期期中联考

数学试题


一、单选题

1.下列函数中与函数 相同的函数是( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】可用相等函数的两个重要判断依据逐项判断

【详解】

A项定义域 ,定义域不同,A

B ,对应关系不同,B

C 定义域 ,定义域不同,C

D ,定义域和对应关系都相同,D

故选:D

【点睛】

本题考查相等函数的判断方法,抓住两点:定义域相同,对应关系相同(化简之后的表达式一致)

2.下列结论描述正确的是( )

A. B. C. D.

【答案】D

【解析】利用元素与集合,集合与集合的基本关系判断即可

【详解】

集合 为自然数集, 还包括正整数之外的其他正数,A

为无理数,B

空集是任何非空集合的真子集,表示不含任何元素的集合,C

整数集的范围比自然数集大,所以D

故选:D

【点睛】

本题考查元素与集合,集合与集合的基本关系,是基础题

3.函数 的定义域为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】分别求解分子和分母对应表达式所满足的限定条件,再求交集即可

【详解】

由题可知,应满足

故选:A

【点睛】

本题考查具体函数的定义域,是基础题

4.已知 ,函数 的图象只可能是( )

A. B.

C. D.

【答案】C

【解析】分别判断 ,函数 的图像特征,结合选项采用排除法可快速求解

【详解】

为减函数,答案在C,D中选择;根据 图像关于 轴对称,可得 关于 轴对称, 所以四个选项中C项符合

故选:C

【点睛】

本题考查函数图像的辨析,涉及函数图像的翻折变换,函数图形的翻折变换具有以下特点:

图像关于 轴对称

图像关于 轴对称

图像关于原点对称

5.在如图所示的三角形空地中,欲建一个如图所示的内接矩形花园(阴影部分),则该矩形花园的面积的最大值为( )

A. B. C. D.

【答案】C

【解析】可设矩形的长为 ,宽为 ,则以长为底的三角形和该锐角三角形相似,再根据相似比求出 的关系式,表示出面积 关于 的关系式,即可求解

【详解】

设矩形的长为 ,宽为 ,则以长为底的三角形和该锐角三角形相似,可得 ,则矩形面积 ,当矩形长 时,面积 最大,为225

故选:C

【点睛】

本题考查以三角形为载体建立的一元二次函数求最值问题,找出长与宽的等量代换关系是解题关键

6.已知 ,函数 是奇函数,则 的值( )

A. 的取值而变化 B.只与 的取值有关

C. 的取值都有关 D.0

【答案】D

【解析】根据奇函数的性质可得, ,同时可判断 ,再将 代入表达式求值即可

【详解】

因为 是奇函数,所以 ,又奇函数定义域关于原点对称,所以 ,则 ,所以

故选:D

【点睛】

本题考查奇函数的性质,求解具体的函数值,若函数 是奇函数,则 ,且函数的定义域关于原点对称

7.已知 ,则 的大小为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】先判断 ,对比 发现既不同底,也不同幂,则应考虑引入一个新的参考量,可设 ,再分别将 进行对比,即可得出三者大小关系

【详解】

由题可判断 ,设

先对比 ,看成 ,由函数单调递减得

再对比 ,看成 ,函数在第一象限为增函数,故

所以

故选:A

【点睛】

本题考查根据指数函数、幂函数、对数函数特点比较大小,解题常规思路为:根据表达式直接判断每个式子大致范围,当范围不能确定时,需要通过构造同底数或同幂的函数,结合函数的增减性来比较大小,再进一步确定大小关系

8.已知定义在 上的偶函数 上为减函数,且 ,则实数 的取值范围是( )

A. B. C. D.

【答案】B

【解析】先确定函数的定义域应满足 ,再根据偶函数的增减性和对称性来进行求解即可

【详解】

由题可简单画出拟合题意的偶函数图像,函数定义域为 ,故应满足

解得

故选:B

【点睛】

本题考查根据偶函数性质求解不等式,易错点为忽略函数定义域,是中档题

9.定义函数序列: , , ,则函数 的图象与曲线 的交点坐标为( )

A. B. C. D.

【答案】A

【解析】观察式子可得,函数序列应满足 的基本递推关系,可先通过递推前几项,进而求出 的表达式,再联立函数与曲线进行求解即可

【详解】

本题主要考查函数的概念与图象。


所以函数

要求函数 的图象与曲线 的交点坐标,

则可令

解得 (舍去)或

代入

所以函数 的图象与曲线 的交点坐标为

故选:A

【点睛】

本题考查由函数的概念求函数解析式,求函数交点坐标,根据递推式找出规律是关键,属于中档题

10.已知 ,设函数 ( )的最大值为M , 最小值为N ,那么 =( )

A.2025 B.2022 C.2020 D.2019

【答案】B

【解析】可类比求解分式函数值域的形式分离常数,得 ,再表示出 ,通过 ,结合函数的增减性即可求得结果

【详解】

由题可知

为增函数,

故选:B

【点睛】

本题考查分离常数法的具体应用,函数单调性的判断与应用,运算能力,属于中档题



二、填空题

11.已知集合 ,若 ,则 _____.

【答案】3

【解析】由题可知 ,可求出 ,再推导出 ,即可求解

【详解】

,则 ,又 ,故 ,则

故答案为:3

【点睛】

本题考查由交集结果求解具体参数,是基础题

12.已知幂函数 的图象经过点(3,27),则此幂函数的解析式是_______

【答案】

【解析】将点(3,27)代入 即可求出

【详解】

将点(3,27)代入 得: ,则

故答案为:

【点睛】

本题考查幂函数解析式的求法,是基础题

13.设函数 ,则 =________.

【答案】24

【解析】先求内层 的值,代入 对应的表达式,得 ,再将 代入 的表达式即可求解

【详解】

先求 ,再求 ,即

故答案为:24

【点睛】

本题考查分段函数具体值的求法,应先求内层函数值,再将此值当作自变量再次代入对应的表达式求解,是基础题

14.已知实数 ,则函数 的单调递增区间为________.

【答案】

【解析】可先确定复合函数外层为增函数,故求解内层函数在满足定义域情况下的增区间即可

【详解】

根据复合函数“同增异减”性质,设 时为增函数,故 应取对应的增区间, ,解得 ,当 时, 为增函数,故 的增区间为

故答案为:

【点睛】

本题考查复合函数增减区间的求解,复合函数增减性满足“同增异减”性质,同时求解时内层函数表达式一定要在外层函数定义域内进行求解

15.设 ,且 ,求 =_________.

【答案】

【解析】可对 左右同时平方,结合平方关系即可求解

【详解】

左右同时平方得

同时由 可判断 ,则

故答案为:

【点睛】

本题考查利用整体法求解表达式数值,和的平方与差的平方的关系,可简单记为:

16.设函数 , , 的取值范围是________.

【答案】

【解析】可先画出函数图像,结合图像,对 化简,根据 的范围求解即可

【详解】

如图所示:

的两根为 ,则

又由 可得, (对称性)

,由图可知

所以

故答案为:

【点睛】

本题考查分段函数图像的画法,根据函数图像的交点求解取值范围问题,综合性强,数形结合大大减小了试题难度,根与函数图像关系值得深入研究,是一道好题


三、解答题

17.计算: .

【答案】10

【解析】采用指数与对数相关公式进行化简即可

【详解】

原式=

=

=

=10 .

【点睛】

本题考查指数与对数的化简求值,熟练掌握基本运算公式是解题关键,如幂的乘方、积的乘方、正分数指数幂,对数的加法(减法)公式、对数的化简公式(逆运算)、和(差)的平方公式、去绝对值的基本方法等,掌握这些基本公式和运算法则能让我们在数学运算中游刃有余

18.已知全集 ,集合 , .

1)求

2)若集合 ,且 ,求实数 的取值范围.

【答案】1 ;(2 .

【解析】1)先对集合 进行化简,再根据集合的混合运算法则进行求解即可

2)由 判断,集合 应该分为 两种情况进行求解即可

【详解】

1)由已知得

.

2

时,即 时, ,满足

时,由题意 ,解得

综上,实数 的取值范围是 .

【点睛】

本题考查集合的混合运算,根据集合的包含关系求解参数问题,易错点为由 ,容易忽略 的情况

19.已知定义在 上的函数 .

(1) ,试判断 在区间 上的单调性,并给予证明.

(2) ,试求 的最小值.

【答案】(1) 在区间 上单调递增,证明见解析; (2)4.

【解析】1)用定义法严格证明即可

2)用换元法设 ,由(1)可得 ,再根据对勾函数增减性求出 的最小值即可

【详解】

(1) 用定义法证明如下:

,

,

,

,

在区间 上单调递增;

(2) ,

(1), 在区间 上单调递增

在区间 上单调递减,在区间 上单调递增 ,

, ,解得, .

【点睛】

本题考查函数增减性的证明,复合函数值域的求法,换元法的应用,换元法的核心在于新元的取值范围必须明确,复合函数的增减性遵循同增异减

20.已知函数 , , .

(1)如果, 有意义,求实数 的取值范围;

(2),若函数 的图象上存在 两个不同的点与 图象上的 两点关于 轴对称,求实数 的取值范围.

【答案】(1) (2)

【解析】1)可通过分离参数法,要使 恒成立,等价于 恒成立,求出 的最大值,即可求解

2)先对 进行化简,可得 ,可将函数 的图象上存在 两个不同的点与 图象上的 两点关于 轴对称转化为 上有两个不等实根,化简后可得 上有两个不等实根,再根据二次函数图像特征即可求解

【详解】

(1)由题意知, 恒成立,

则等价于 恒成立.

,

,

.

(2) 由题意知,

且可得方程 上有两个不等实根,

即满足

上有两个不等实根,

,

,

所以实数 的取值范围为

【点睛】

本题考查根据恒成立问题求解参数问题,函数图像对称类问题,函数与方程的转化;恒成立问题求参常采用分离参数法,用不等式性质进行求解;函数对称类问题是处理的难点,可通过点的对称加深对函数对称的理解;二次函数存在类问题需要考虑结合开口,判别式,对称轴进行综合分析


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高一模拟试题  https://www.kuaiwen.net/gaoyi/
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